Nonlinear Opt.: Gold section search 2

The Golden Section Search is an Algorithm/ technique for finding the extremum of an unimodal function over an interval without using derivatives. It is very clever. The advantage towards other section search methods is the need of only one new evaluation instead of two, because one intermediate points is the same as in the previous iteration. Fetter TextThe name of the search methods is based on the calculation of the two intermediate points by using the golden ratio.

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): Golden Ratio: \phi=\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}= 1,618

Golden section algorithm

For Maximum:

Step one: Let a and b be the end points of the initial interval. Compute the intermediate points:

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_{1}=a+\frac{b-a}{(1,618)^{2}}

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_{2}=b-(x_{1}-a)

Set $k=2$

Step 2: (1) If Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): f(x_{1}^{k-1})>f(x_{2}^{k-1}) , then

                      Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): a^{k}=a^{k-1}
    and    Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): b^{k}=x_{2}^{k-1}

                      Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_{1}^{k}=a^{k}+(x_{2}^{k-1}-x_{1}^{k-1})
  and  Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_{2}^{k}=x_{1}^{k-1}

(2) If Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): f(x_{1}^{k-1})<f(x_{2}^{k-1})

, then

                       Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): a^{k}=x_{1}^{k-1}
    and   Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): b^{k}=b^{k-1}

                        Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_{1}^{k}=x_{2}^{k-1}
  and   Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_{2}^{k}=b^{k}-(x_{2}^{k-1}-x_{1}^{k-1})

Step 3: Stop when Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): (b^{k}-a^{k})<\varepsilon

, arbitrally small, and let the optimal Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x^{*}
be equal to the point $a^{k},b^{k},x_{1}^{k},x_{2}^{k}$ with the maximum function value. Otherwise, let k go to k+1 and return step 2.