Nonlinear Opt.: Basic concepts 3

Theory

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In contrast to the Linear Optimization, which solution method is the simplex algorithm, there is no comparable solution method für Nonlinear Optimization problems. Instead of the Simplex algorithm there are different solution methods which are specific for a given problem. But there is no gurantee for an optimal solution.

The gereral form of a non linear optimization can be stated as:

$max~z=f(x_{1},...,x_{n})$

under the constraints that:

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): h_{i}(x_{1},...,x_{n})\leq b_{i}\qquad i=1,...,m

and:

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_{j}\geq 0\qquad j=1,...,n

By transforming the restriction

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): h_{i}(x_{1},...,x_{n})\leq b_{i}

in

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): h_{i}(x_{1},...,x_{n})-b_{i}\leq 0

and nominating this inequality with $g_{i}$

$max~z=f(x_{1},...,x_{n})$

in consideration of the restrictions:

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): g_{i}(x_{1},...,x_{n})\leq 0\qquad i=1,...,m

Example

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Example 1 (Maximization)

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): f(x)=5x-2x^2

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial }{\partial x} f(x)=5-4x

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial^2 }{\partial x^2}f(x)=4>0 \rightarrow min

Example 1 (Minimization)

$f(x)=5x+2x^{2}$

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial }{\partial x}f(x)=5+4x

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial^2 }{\partial x^2}f(x)=4>0 \rightarrow max