Nonlinear Opt.: Lagrangian condition 4: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Optimise the objective function <math>30x_1x_2</math>subject to the constraint <math>x_1+25x_2=500</math>'''
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'''First'''  <math>x_1+25x_2-500= 0</math>   
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'''Second'''  <math>L=30x_1x_2+\lambda(500-x_1-25x_2)</math>
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'''Third'''<math>\</math> <math> \frac{\partial L}{\partial x_1}
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=30x_2-\lambda=0</math><math>\\</math>
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<math> \frac{\partial L}{\partial x_2}
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=30x_1-25\lambda=0</math><math>\</math>
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<math> \frac{\partial L}{\partial \lambda}=500-x_1-25x_2=0</math>
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'''Fourth''' <math>\newline</math>
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<math>30x_1=25\lambda(2)</math><math>\newline</math>
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so <math>6/5x_1=\lambda</math><math>\newline</math>
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<math>\\</math>
 +
<math>x_2=20-x_1/25</math>
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<math>\newline</math>

Version vom 27. Juni 2013, 23:26 Uhr

Theory

The Lagrangian method is part of the non-linear optiization theory. It is used to solve an objective function with constraints. The application area of this mothed is very wide-ranging.



Problem

Objective function


subject to e element R


The objective function and must be continuosly differentiable!


Procedure

First you have to rewrite the constraints to the form of Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): g_k(x_1,...,x_n)-c = 0


Then you set up the Lagrangian function:


Third you must derive the Lagrangian function with respect to all variables and set These derivatives to Zero .

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial}{\partial x_i}L(x_1,...,x_n; \lambda_1,...,\lambda_k = 0


Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial}{\partial \lambda_k}L(x_1,...,x_n;\lambda_1,...,\lambda_m


Last you have to solve all the equations.


Example

Optimise the objective function subject to the constraint


First Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_1+25x_2-500= 0


Second Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): L=30x_1x_2+\lambda(500-x_1-25x_2)



ThirdFehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \ 

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.):  \frac{\partial L}{\partial x_1} =30x_2-\lambda=0

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \\

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial x_2} =30x_1-25\lambda=0 Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial \lambda}=500-x_1-25x_2=0


Fourth Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \newline

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \newline

so Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \newline

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \\

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_2=20-x_1/25

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \newline

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