Nonlinear Opt.: Lagrangian condition 4: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | '''Second''' | + | '''Second''' |
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| − | + | <math>L=30x_1x_2+\lambda(500-x_1-25x_2)</math> | |
| − | =30x_2-\lambda=0</math> | + | |
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| + | |||
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| + | <math> \frac{\partial L}{\partial x_1} | ||
| + | =30x_2-\lambda=0</math> | ||
| + | |||
| + | |||
<math> \frac{\partial L}{\partial x_2} | <math> \frac{\partial L}{\partial x_2} | ||
| − | =30x_1-25\lambda=0</math> | + | =30x_1-25\lambda=0</math> |
| + | |||
<math> \frac{\partial L}{\partial \lambda}=500-x_1-25x_2=0</math> | <math> \frac{\partial L}{\partial \lambda}=500-x_1-25x_2=0</math> | ||
| − | '''Fourth''' | + | '''Fourth''' |
| − | <math>30x_1=25\lambda(2)</math>< | + | |
| − | + | ||
| − | <math>\ | + | |
| − | <math> | + | <math>30x_1=25\lambda(2)</math> |
| − | <math> | + | |
| + | |||
| + | => <nowiki></nowiki> <math>6/5x_1=\lambda</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>x_2=20-x_1/25</math>(3) | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>30x_2-\lambda=0</math>(1) | ||
| + | |||
| + | |||
| + | => <math>30(20-x_1/25)-6/5x_1=0</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | => <math>600-6/5x_1-6/5x_1=0</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | => <math>600-12/5x_1=0</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | => <math>x_1=250</math> | ||
Version vom 27. Juni 2013, 23:42 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Theory
The Lagrangian method is part of the non-linear optiization theory. It is used to solve an objective function with constraints. The application area of this mothed is very wide-ranging.
Problem
Objective function
subject to e element R
The objective function and must be continuosly differentiable!
Procedure
First you have to rewrite the constraints to the form of Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): g_k(x_1,...,x_n)-c = 0
Then you set up the Lagrangian function:
Third you must derive the Lagrangian function with respect to all variables and set These derivatives to Zero .
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial}{\partial x_i}L(x_1,...,x_n; \lambda_1,...,\lambda_k = 0
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial}{\partial \lambda_k}L(x_1,...,x_n;\lambda_1,...,\lambda_m
Last you have to solve all the equations.
Example
Optimise the objective function subject to the constraint
First
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_1+25x_2-500= 0
Second
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): L=30x_1x_2+\lambda(500-x_1-25x_2)
Third
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial x_1} =30x_2-\lambda=0
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial x_2} =30x_1-25\lambda=0
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial \lambda}=500-x_1-25x_2=0
Fourth
=>
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_2=20-x_1/25
(3)
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 30x_2-\lambda=0
(1)
=> Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 30(20-x_1/25)-6/5x_1=0
=> Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 600-6/5x_1-6/5x_1=0
=> Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 600-12/5x_1=0
=>
