Nonlinear Opt.: Lagrangian condition 4: Unterschied zwischen den Versionen
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First you have to rewrite the constraints to the form of <math>g_k(x_1,...,x_n)-c = 0 </math> | First you have to rewrite the constraints to the form of <math>g_k(x_1,...,x_n)-c = 0 </math> | ||
| − | Then you set up the Lagrangian function: <math>L(x_1,...,x_n;\lambda_1,...,\lambda_k = f(x_1,...,x_n) +\lambda_1 g_1(x_1,...,x_n) +...+\lambda_k g_k(x_1,...,x_n</math> | + | Then you set up the Lagrangian function: <math>L(x_1,...,x_n;\lambda_1,...,\lambda_k = f(x_1,...,x_n) +\lambda_1 g_1(x_1,...,x_n) +...+\lambda_k g_k(x_1,...,x_n)</math> |
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| − | + | Third you must derive the Lagrangian function with respect to all variables a | |
| + | nd set These derivatives to Zero . | ||
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| + | <math>\frac{\partial}{\partial x_i}L(x_1,...,x_n; \lambda_1,...,\lambda_k) = 0 </math> | ||
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| + | <math>\frac{\partial}{\partial \lambda_k}L(x_1,...,x_n;\lambda_1,...,\lambda_m)= 0</math> | ||
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Version vom 28. Juni 2013, 08:10 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Theory
The Lagrangian method is part of the non-linear optiization theory. It is used to solve an objective function with constraints. The application area of this mothed is very wide-ranging.
Problem
Objective function
subject to element R
The objective function and must be continuosly differentiable!
Procedure
First you have to rewrite the constraints to the form of Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): g_k(x_1,...,x_n)-c = 0
Then you set up the Lagrangian function: Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): L(x_1,...,x_n;\lambda_1,...,\lambda_k = f(x_1,...,x_n) +\lambda_1 g_1(x_1,...,x_n) +...+\lambda_k g_k(x_1,...,x_n)
Third you must derive the Lagrangian function with respect to all variables a
nd set These derivatives to Zero .
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial}{\partial x_i}L(x_1,...,x_n; \lambda_1,...,\lambda_k) = 0
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial}{\partial \lambda_k}L(x_1,...,x_n;\lambda_1,...,\lambda_m)= 0
Last you have to solve all the equations.
Example
Optimise the objective function subject to the constraint
First
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_1+25x_2-500= 0
Second
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): L=30x_1x_2+\lambda(500-x_1-25x_2)
Third
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial x_1} =30x_2-\lambda=0
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial x_2} =30x_1-25\lambda=0
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial \lambda}=500-x_1-25x_2=0
Fourth
=>
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_2=20-x_1/25
(3)
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 30x_2-\lambda=0
(1)
=> Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 30(20-x_1/25)-6/5x_1=0
=> Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 600-6/5x_1-6/5x_1=0
=> Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 600-12/5x_1=0
=>
Sources
Kurt Meyberg, Peter Vachenauer Höhere Mathematik 1 (6. Auflage)
Hal R. Varian Intermediate Microeconomics (8th Edition)
Script of Operations Research
Hans Corsten, Ralf Gössinger Produktionswirtschaft; Einführung in das industrielle Produktionsmanagement(13. Auflage)
