Nonlinear Opt.: Quadratic Problems 2

Example

There is a business that sells insulation stuff. Therefore they use two materials row wood $x_{1}$ and recycled wood wool $x_{2}$. The costs of recycling old furniture and building timber is higher then the ram wood. The business wants to minimize their costs.

$c(x_{1})=x_{1}$

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): c(x_2)=-2x_1+2x_2

Total costs: Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): c_t (x_1,x_2)= x_1^2 -2x_1x_2 +2x_2^2

First we transform the problem in the quadratic form: $F(x)=c^{T}x+{\frac {1}{2}}x^{T}Cx$

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): c(x_1,x_2)= x_1^2 -2x_1x_2 +2x_2^2

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \Rightarrow c(x_1,x_2)= (x_1 -2x_2)x_1)+(2x_2)x_2

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \Rightarrow c(x_1,x_2)= (x_1 -x_2)x_1)+(-x_1+x_2)x_2

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \Rightarrow c(x_1,x_2)= \frac{1}{2} [(2x_1 -2x_2)x_1)+(-2x_1+4x_2)x_2]

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): c=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2&-2 \\ -2&4 \end{pmatrix}

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): c(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} +\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&-2 \\ -2&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}

Secondly we must proof if it´s a konvex or koncav funktion thus if it´s positiv or negativ definite. It should be positiv definite to represent a global minimum costs.

To test the form of the graph, we draw up the Hesse matrix.

$H(x_{1},x_{2})={\begin{pmatrix}{\frac {d^{2}f}{dx_{1}dx_{1}}}(x)&{\frac {d^{2}f}{dx_{1}dx_{2}}}(x)\\{\frac {d^{2}f}{dx_{2}dx_{1}}}(x)&{\frac {d^{2}f}{dx_{2}dx_{2}}}(x)\end{pmatrix}}$

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \Rightarrow H(x_1,x_2)= \begin{pmatrix} 2&-2 \\ -2&4 \end{pmatrix}

If the main mintors are bigger (or equal) zero, then the matrix is positiv definit (positiv semidefinit) and is is konvex.

$det{\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}=2$

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): det \begin{vmatrix} 2&-2 \\ -2&4 \end{vmatrix} =4

Both mintors are bigger zero and as consequence of konvexity there must be a global minimum of costs. To calculate this, there are diffrent methods e.g. to set the gradient equal to zero and solve it.