Individualentscheidung bei Risiko

Einleitung

Als Entscheidungsträger treffen wir Entscheidungen unter Risiko. Typischerweise betrachtet man das Risiko von Entscheidungen, vor allem bei Investitionsentscheidungen (besonders bei Finanzentscheidungen und Finanzmärkte) sehr genau. Gleichfalls spielt es natürlich auch in anderen Unternehmensbereichen und Situationen des alltäglichen Lebens eine Rolle. Das Problem besteht darin, dass multikriterielle Entscheidungsprobleme relativ kompliziert darzustellen sind. Deswegen sind Entscheidungsprobleme mit Geld/Geldflüssen (als skalare Größe) verhältnismäßig einfach darstellbar. Einfache Modelle zur Risikosteuerung lassen sich hier leicht erklären.

Was bedeutet Risikobehaftet?

Eine Entscheidung ist genau dann Risikobehaftet, wenn:

1. der Entscheidungsträger zwar nicht mit Sicherheit vorbestimmen kann, welcher Umweltzustand eintreten wird,
2. es ihm aber anderseits möglich ist, für jeden möglichen Umweltzustand eine Eintrittswahrscheinlichkeit zu spezifizieren.

Beispielsweise weiß man beim Roulette zwar nicht mit Sicherheit, welches Ergebnis man erhält, aber man kann die Eintrittswahrscheinlichkeit berechnen (oder aus statistischen Beobachtungen darauf schließen). Dazu müssen alle möglichen Zustände (die 37 Zahlen als Möglichkeiten beim Roulette) und ihre Eintrittswahrscheinlichkeiten bekannt sein.   Sind Umweltzustände und/oder Eintrittswahrscheinlichkeit nicht bekannt, so spricht man im Allgemeinen von Individualentscheidung bei Ungewissheit.

Risikosituation

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m = verschiedene Alternativen (i) (Zeilen)
n = verschiedene Umweltzustände (j) (Spalten)
jeder Umweltzustand hat die Eintrittswahrscheinlichkeit p_j
a_ij = für jeden Umweltzustand und Alternative zu erwartendes Ergebnis
mit ∑_1..n p_j=1

z.B. a₁₂ = Ergebnis aus der Handlungsalternative 1, wenn der Umweltzustand 2 eintritt

Wahrscheinlichkeitsbegriffe

objektiv

• streng genommen nur im Falle der Symmetrie (z.B. idealer Würfel)
• statistischer Begriff (Gesetz der großen Zahl)

Vorsicht, der statistische Begriff ist jedoch insofern subjektiv, als unterstellt wird, die Zukunft werde sich wie die Vergangenheit verhalten. In der Realität ist das vielleicht oft der Fall, aber nicht immer --> siehe z.B. Finanzkrisen.

subjektiv

• (rein) subjektive Einschätzung für das Eintreten des Ereignisses auf Basis der im Moment der Festlegung durch die Person reflektierten Informationen

Anmerkung Im Folgenden wird eine vereinfachende Annahme getroffen: Nur eine aggregierte Nutzenfunktion (nicht multikriteriell).

Risikopräferenz

Beispiel: Auszahlungsmatrix verschiedenen Investitionen

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Vier unterschiedliche Umweltzustände (Wirtschaftswachstum -3% bis 5%).
Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z) für Umweltzustände.
Drei Alternativen (Bundesobligationen, Junk-Bonds, Treu & Glauben Aktien.
Für jeden Umweltzustand und Alternative jeweilige Auszahlung.

μ = Mittelwert (Summierte, mit der Eintrittswahrscheinlichkeit gewichtete Auszahlung)
μ = ∑_j a_ij*p_j (a_ij = Auszahlung)

σ = Varianz/Standardabweichung

σ² = ∑_i p_j*(a_ij-μ_i)²

μ-Prinzip (sog. Bayes-Regel)

orientiert sich schlicht am Erwartungswert der Auszahlungen
Dann Sinnvoll, wenn sehr viele gleichartige Entscheidungen zu treffen sind.

(μ,σ)-Prinzip (Erwartungswert und Standardabweichung)

-> Trade-off zwischen Erwartungswert und Risiko

In der Regel ist eine geringe Streuung (kleines σ) bei einem hohen Erwartungswert μ erstrebenswert.

Bernoulli-Prinzip

Bei dem Bernoulli-Prinzip geht es nicht direkt um die monetäre Bewertung, sondern um den Nutzen, den wir aus der Auszahlung a_ij ziehen können.

• Es gibt eine (subjektive) Nutzenfunktion u(x) für Erwartungswerte.

• Es soll der Nutzenerwartungswerts (Expected Utility) maximiert werden:

EU(a_i)=∑_j..n u(a_ij)p_j

Die Nutzenfuktion ist typischerweise nicht linear:

So stiftet nach dem das erste Glas Wasser einen deutlich höheren Nutzen als das fünfte Glas.

Beispiel konkave Nutzenfunktion:

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Bernoullis Idee war: Bei einem Vermögen von 100€ (Punkt A) erzeugen mir weitere 10€ einen größeren Nutzen als 10€ bei einem Vermögen von 1.000.000€ (Punkt B). Also muss ich den zusätzlich erhaltenen Geldbetrag umrechnen in seinen jeweiligen Nutzwert. Mit Risikoentscheidungen hängt das insofern zusammen, als einige rationale Entscheider wegen einer solchen Nutzenfunktion lieber einen geringeren Betrag gesichert haben möchten, als einen höheren Betrag, der dafür unsicherer ist.

Zu jeder risikobehafteten Handlungsalternative kann ein sogenanntes Sicherheitsäquivalent gebildet werden, d.h. eine risikofreie Handlungsalternative mit dem selben Nutzenerwartungswert. "Risikofreie Handlungsalternative" bedeutet, dass bei ihr in in allen Umweltzuständen der gleichen sichere Betrag s ausgezahlt wird. s ist dabei so zu wählen, dass der Nutzenerwartungswert des Sicherheitsäquivalents gleich dem der Handlungsalternative ist, was sich mithilfe der Nutzenfunktion u(x) bestimmen lässt. Der sichere Auszahlungsbetrag s, bei dem ich zwischen der Handlungsalternative und ihrem Sicherheitsäquivalent indifferent bin, hängt von meiner Risikoeinstellung (also mithin von meiner Nutzenfunktion) ab.

===Beispiel Sicherheitsäquivalent:===

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Zwei Handlungsalternativen (a1, a2) und zwei Umweltzustände.
Konkave Nutzenfunktion u(x)=x^0,5

s ist so zu bestimmen, dass a₂ das Sicherheitsäquivalent von a₁ darstellt.
Dazu wird zuerst der Eu von a₁ bestimmt. Da dieser für das Sicherheitsäquivalent a₂ der selbe sein muss, kann anhand der Umkehrfunktion u^-1(x) der Nutzenfunktion u(x)=x^0,5 der sichere Auszahlungsbetrag s bestimmt werden, indem der Wert Eu(a_i) in u^-1(x) eingesetzt wird.
Hier sehen wir die Berechnung von s nocheinmal in einer Weise, bei der Eu gleich mitberechnet wird:
(Nicht erschrecken. Im Grunde wird hier nichts anderes gemacht als s^0,5 = 2,6 nach s aufzulösen.)

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Risikopräferenzen

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Maß der Risikkoaversion

Arrow-Pratt-Maß der Risikoaversion:

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Beispiel:

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Maß der Riskoaversion und Risikoprämie nehmen gleichzeitig zu (ab).

Risikoprämie

Risikoprämie:

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Differenz zw. Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent ist die maximale Risikoprämie π, (die ich z.B. auch maximal bereit bin an eine Versicherung zu zahlen)

Beispiel wird ergänzt!

Monte-Carlo-Simulation

Häufig ist ein analytischer Ansatz zu aufwändig. Deswegen greift man in komplexen Fällen auf Simulationen zurück.

• Bei sehr vielen möglichen Umweltzuständen verbietet sich meist die analytische Berechnung der (Nutzen-) Erwartungswerte, da diese zu aufwändig wäre. Deswegen greift man in komplexen Fällen auf Simulationen zurück.
• Stattdessen vielfache „Ziehung“ der Ausprägung der stochastischen Variablen aus fiktiven (unabhängigen) Urnen
• Berechnung der Einzelfälle wie Entscheidungsproblem bei Sicherheit
• Schließlich Analyse von Mittelwert und Verteilung der Ergebnisse
• Problem: In der Realität sind die "Urnen" oftmals voneinander abhängig (z.B. Marktzins und künftige Auszahlungen bei mehrperiodigen Investitionsprojekten)

Literatur

Domschke/Scholl (2005): Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kap. 2.3