Linear optimization: Parametrical objective function 4

Parametrical objective function is a special part of linear optimization. The foundation of parametrical optimization is the sensitivity analysis. Compared to the sensitivity analysis the Parametrical objective function makes a statement about large changes in the input data.

Basic Knowledge

To include large changes in the input data you have to add a new variable "$q$". For simple cases you just summate the new variable "$q$" multiplicated with a constant vektor " $\beta$ " to the objective function. In this case the constant vektor is the value which change the input parameter "$c$".

The objectiv function is now with a parameter:

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): c(q)=c+q* $\beta$

Thereby there is a new optimization problem which can be solved.

$P(q)$$=$$(c+$$q$$\beta )$$^{T}x$ Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \rightarrow

$max!$

$Ax=b$

$x$ Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \ge

$0$

Exemplification

In the follow we are going to show an example of "Linear Optimization of Parametrical Objective Function". We want to find an optimal combination of product 1 and product 2 to minimize the costs. Diffrent from "normal" simplex are the parameters in the objective function. This parameters express a modification in the objective funktion, it is usefull for changing the input data without calculating the whole simplex again.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Die Miniaturansicht konnte nicht am vorgesehenen Ort gespeichert werden

From this tableau you can read out the profit function with a variable inside:

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): G(q)= q*x_1+500x_2-36000

Transformed into the Simplex-Tableau:

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Die Miniaturansicht konnte nicht am vorgesehenen Ort gespeichert werden

(Tableau 1)

In Tableau 1 and 2 you do the normal simplex iteration. "Ignoring" the variable "$q$", setting it equal "0".

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Die Miniaturansicht konnte nicht am vorgesehenen Ort gespeichert werden

(Tableau 2)

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Die Miniaturansicht konnte nicht am vorgesehenen Ort gespeichert werden

(Tableau 3)

In Tableau 3 you have an optimal solution if you define $q$ Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \le

$0$ ,because your head row gets positive Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \rightarrow
acceptable and optimal solution

Origin

-Skript OperationResearch_2012SS_Wendt

- http://www.orklaert.de/parametrische-lineare-optimierung

- https://bisor.wiwi.uni-kl.de/orwiki/Parametrische_Optimierung

Made By

Matrknr.: 381935; 380535