Nonlinear Opt.: Lagrangian condition 2
The langrange method is a mathematical method to solve none-linare optimization problems with restrictions. With the aid of the Lagrangian multipliers (λi) the objective function and the restrictions can be combined to the Langragian function. Through the partial derivations with respect to the given variables (xi) there is a system of equations generated. You can locate the minima/maxima of the initial problem by solving the system of equations.
Theory:
optimization problem
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): Z = f(x_1 \dots x_n)-> max/min!
Restrictions
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): h_i(x_1 \dots x_n)= b, b \in \mathbb{R}
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_j \geq 0, j = 1 \dots n
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): f(x_1 \dots x_n), g_i(x_1 \dots x_n)
have to be contiuously differentiable
In general you can solve the problem if you follow these steps.
1 step:
Formulate the Langrangian function with the langrangian multipliers: Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): L(x_1 \dots x_n; \lambda_1 \dots \lambda_m)= f(x_1 \dots x_n) - \sum_{i=1}^m \lambda_i\cdot g_i(x_1 \dots x_n)
2 step:
Differentiate the Langrangian function with respect to Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): (x_1 \dots x_n): \frac{\delta L}{\delta x_j} =\frac{\delta f}{\delta x_j} (x)-\sum_{i=1}^m \lambda \cdot \frac{\delta g_i}{\delta x_j} (x)
3 step:
Formulate the Langrangian conditions:
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\delta L}{\delta x_1}=\dots\overset {!}{=}0
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \dots
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\delta L}{\delta x_n}=\dots\overset {!}{=}0
4 step:
Solve the system of equations by inserting the equations into each other.
Example:
To illustrate the problem of optimization we use a production function g(r1,r2) with the factors r1 and r2 , and the variable output x. The prices for the factor inputs p1 and p2 is given. In the end we want to calculate the optimal relation of factor input, due to the variable output. As a result we get the cost function due to the input- and output variables.
The production function is given by:
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): X=g(r_1,r_2) = \sqrt{r_1\cdot r_2}
The factor prices:
Step 1:
Formulate the Langragian function with the Langragian multipliers.
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): L(r_1,r_2,\lambda) = \underbrace {8 \cdot r_1 + 2\cdot r_2}_{f(r_n)} + \underbrace{\lambda}_{Lagrangian multiplier}\cdot\underbrace{(x - \sqrt{r_1\cdot r_2})}_{g(r_n)}
Step 2/Step 3:
Formulate the necessary condition, by building the partial derivations and set them equal to zero:
(1) Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\delta L}{\delta r_1}=8- \lambda\cdot 0,5\cdot \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} \overset {!}{=} 0
(2) Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\delta L}{\delta r_2}=2- \delta\cdot 0,5\cdot \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}\overset {!}{=}0
(3) Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\delta L}{\delta \lambda}=x-\sqrt{r_1\cdot r_2} \overset {!}{=} 0
Step 4:
Solve the system of equation. By solving the first two equtions, you get the optimal relation between the factor inputs and :
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 8 = \lambda \cdot 0,5 \cdot \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 2 = \lambda \cdot 0,5\cdot\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}
)
You get the optimal relation:
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 4\cdot r_1 = 1\cdot r_1
If you insert this realtion into the production function, you get the optimal measure of the factor inputs:
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x = \sqrt{r_1\cdot 4\cdot r_1}
and Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x = \sqrt{0,25\cdot r_2\cdot r_2}
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): r_1^* = 0,5\cdot x
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): r_2^* = 2\cdot x
The cost functions:
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): K(x)=0,5\cdot x\cdot p_1+2\cdot x\cdot p_2
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): K(x)=(0,5\cdot p_1+2\cdot p_2)\cdot x
Sources:
Koschig, Robert: Das Optimierungsverfahren mit Lagrange-Multiplikatoren. Stand 09/2012. http://massmatics.de/de/files/2012/09/Lagrangeoptimierung-v1.0.pdf (abgerufen am 24.06.2013)
Wendt, O., OR-Skript SS13, (2013)
Corsten, H., Gössinger, R. (2009): Produktionswirtschaft - Einführung in das industrielle Produktionsmanagement, 12. Auflage, Oldenburg Verlag, München, S. 136 ff.
