Nonlinear Opt.: Lagrangian condition 3

Theory

The Lagrangian condition is a mathematical method to solve non-linear optimization problems. To use this method we need an objective function, which must be optimized, one or more constraints and the Lagrangian multiplier.

objective function:

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): z=f(x_{1},...,x_{n})\rightarrow min./max.

constraints:

$g_{i}(x_{1},...,x_{n})=b$ $,b\epsilon R$

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_{j}\geq 0

$j=1,...,n$

$f(x_{1},...,x_{n})$ and $g_{i}(x_{1},...,x_{n})$ must be continuosly differentiable.

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Step_1:

Transform the constraint(s) to the implicit function:

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): g_{i}(x_{1},...,x_{n})-b=0

Step_2:

Combine the objective function, all constraints and the Lagrangian multiplier to the Lagrangian function in the following form: Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): L(x_{1},...,x_{n},\lambda)=f(x_{1},...,x_{n})-\lambda *(g_{i}(x_{1},...,x_{n})-b)

Step_3:

Differentiate the Lagrangian function with respect to all parameters:

${\frac {\delta L}{\delta x_{1}}}=0$

${\frac {\delta L}{\delta x_{2}}}=0$

${\frac {\delta L}{\delta \lambda }}=0$

Step_4:

Solve all equations and insert the equations into each other!

Example and presentation of the problem

The corporation "Töpfe und Pfannen GmbH" produces 48 pans with following production function

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x=4*r_{1}^{2/3}*r_{2}^{1/3} .

To produce one pan they need an under-floor($p_{2}=16$) and a top($p_{1}=4$). The corporation wants to minimize the total costs!

Variables:

-price per underfloor $p_{2}=16\$$

-price per top $p_{1}=4\$$

-production function: Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x=f(r_{1},r_{2})=4r_{1}^{2/3}*r_{2}^{1/3}

-cost function: $K(r_{1},r_{2})=16r_{2}+4r_{1}=objectivefunction$

-$x=output$

-$r=input$

objetive function: $minK(r_{1},r_{2})=16r_{2}+4r_{1}$

constraints: Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): g(r_{1},r_{2})=4*r_{1}^{2/3}+16*r_{2}^{1/3}

Detailed solution process with explanation

Step_1: Transform the constraint to the implicit function Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): g(r_{1},r_{2})=4*r_{1}^{2/3}+16*r_{2}^{1/3}-48=0

Step_2: Combine the objective function, the constraint and the Lagrangian multiplier to the Lagrangian function. Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): L(r_{1},r_{2},\lambda)=4*r_{1}+16*r_{2}-\lambda *(4*r_{1}^{2/3}+16*r_{2}^{1/3}-48)

Step_3+4: Differentiate the Lagrangian function with respect to all parameters and solve all equations and insert the equations into each other.

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\delta L}{\delta r_{1}}=4-\lambda*\frac{8}{3}*\frac{r_{2}^{1/3}}{r_{1}^{1/3}}=0\Leftrightarrow \lambda=\frac{3*r_{1}^{1/3}}{2*r_{2}^{1/3}} (I)

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\delta L}{\delta r_{2}}=16-\lambda*\frac{4}{3}*\frac{r_{1}^{2/3}}{r_{2}^{2/3}}=0 \Leftrightarrow \lambda=\frac{12*r_{2}^{2/3}}{r_{1}^{2/3}}(II)

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\delta L}{\delta \lambda}=4*r_{1}^{2/3}*r_{2}^{1/3}-48=0 (III)

$put(I)=(II)$ Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \Rightarrow

$r_{1}=8r_{2}$ Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \Rightarrow

${\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {8}{1}}(IV)$

$put(IV)in(III)$

$x=48$

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x=4*r_{1}^{1/3}*r_{2}^{1/3} Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \Leftrightarrow Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): 48=4*(8*r_{2})^{2/3}*r_{2}^{1/3}=16*r_{1}^{2/3}*r_{2}^{1/3}

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \Leftrightarrow r_{2}^{*}=3 \Bigg[QU\Bigg] Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \Rightarrow put in (IV)

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): r_{1}^{*}=8*r_{2}^{*}=24\Bigg[QU\Bigg]

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \rightarrow K(24,3)=4*24+16*3=144\Bigg[$\Bigg]

Sources

Script of Operations Research 2013, part 2

Hans Corsten, Ralf Gössinger Produktionswirtschaft; Einführung in das industrielle Produktionsmanagement(13. Auflage) + Tutorials

http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/LaTeX:Symbols#Greek_Letters

http://www.ma.tum.de/foswiki/pub/Ferienkurse/WiSe0809/LaTeX/2_Mathematik_print.pdf

http://massmatics.de/de/files/2012/09/Lagrangeoptimierung-v1.0.pdf