Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die Ergebnisse eines Zufallsexperiments verteilen. Es wird zwischen diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterschieden.
Die Ergebnisse einer diskreten Verteilung können nur bestimmte (abzählbar viele) Werte annehmen. Beispielsweise können beim Würfeln nur die Zahlen 1,2,3,4,5 und 6 entstehen. Bei diskreten Verteilungen spricht man von einer Wahrscheinlichkeitsfunktion.
f(x) = P(X=x)
Die Verteilungsfunktion ergibt sich zu:
F(x) = P(X≤x) = ∑P(X=k) ; k≤x
P steht für probability; die Zufallvariable X kann nur die Werte x annehmen.
Die Ergebnisse stetiger Verteilungen können (unter Umständen innerhalb bestimmter Grenzen) sämtliche reelle Werte annehmen. Beispielsweise kann die Körpergröße eines Menschen stetig aufgefasst werden. Stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen liegt eine Dichtefunktion f(x) zu Grunde.
Die Vereilungsfunktion ergibt sich zu:
<F(x) = P(a≤X≤b) = ∫ f(x) dx in den Grenzen a bis b>
Poisson-Verteilung
Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die bei mehrmaligem Durchführen eines Bernoulli-Experiments(ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ausgängen, z.B.: das Werfen einer Münze) entsteht.
Sie ist bei geringer Eintrittswahrscheinlichkeit und großer Wiederholungsanzahl eine gute Näherung an die Binomialverteilung( müsste eigentlich verwendet werden, ist aber bei großer Wiederholungsanzahl sehr aufwendig zu berechnen). Es werden Ereignisse betrachtet, die innerhalb eines Zeitintervalls T auftreten.
Pro Zeiteinheit treten durchschnittlich λ Ereignisse auf (Erwartungswert). Die Wahrscheinlichkeit, dass x Ereignisse in T auftreten ist:
<f(x) = P(X=x) = λxe-λ/x!>
Die Verteilungsfunktion(die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass das Ereignis höchstens x-mal eintritt) ergibt sich zu:
<F(x) = P(X≤x) = ∑ λke-λ/k! ; k≤x>
Beispiel
Innerhalb von 10 Minuten betreten durchschnittlich 0,5 Personen ein Geschäft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (unter der Annahme, die Ankünfte seien Poisson verteilt), dass innerhalb 10 Minuten n Personen (bis n=3) das Geschäft betreten?
λ = 0,5
<P(X=x) = λxe-λ/x!>
<P(X=0) = λ0e-0,5/0! = e-0,5 = 0,6065 (0!=1)>
<P(X=1) = λ1e-0,5/1! = 0,5 e-0,5 = 0,3033>
<P(X=2) = λ2e-0,5/2! = 0,0758>
<P(X=3) = λ3e-0,5/3! = 0,0126>
P(X≥4) = 1- P(X=1) – P(X=2) – P(X=3)
= 0,0018
Die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Personen innerhalb von 10 Minuten das Geschäft betreten, beträgt demnach 0,0126 bzw. 1,26%.
Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung ist dual(die Verteilungen lassen sich ineinander überführen) zur Poisson-Verteilung. Es treten weiterhin durchschnittlich λ Ereignisse pro Zeiteinheit auf. Demnach ist der durchschnittliche zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen(Erwartungswert) gleich 1/ λ. Die Exponentialverteilung betrachtet die zeitlichen Abstände zwischen zwei Ereignissen, demnach ist sie eine stetig.
Die Dichtefunktion ist:
<f(t) = λe-λt ; für t≥0 >
Die Verteilungsfunktion lautet:
<F(a≤t≤b) = ∫ab λe-λt dt =[-e-λt ] ab>
Beispiel
Es weiterhin das oben genannte Geschäft betrachtet: Pro Zeiteinheit (10 Minuten) betreten durchschnittlich 0,5 Personen das Geschäft.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand zwischen zwei Ereignissen
a) weniger als 10 Minuten
b) zwischen 10 und 20 Minuten ist?
<F(a≤t≤b) = ∫ab λe-λt dt =[-e-λt ] ab>
λ = 0,5
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen zwei Ankünften zwischen 10 und 20 Minuten vergehen, beträgt demnach 23,86%.
