Nonlinear Opt.: KKT- theorem 5

Karush-Kuhn Tucker Theorie (KKT-Theorie) :

Karush-Kuhn Tucker Theorem (KKT-Theorem) is a mathematical Method to solve Nonlinear optimization problems with help of Lagrangian Function. It requires inequality constraints. The system of equations corresponding to the KKT conditions is usually not solved directly, except in the few special cases where a closed-form solution can be derived analytically.

Optimality conditions according to KKT-Theorem:

#Generalization of the Lagrangian condition #Take the inequality Constraints in consideration #Necessary (even sufficient under certain preconditions) conditions which shall be satisfied by an extremizer of the Lagrangian function.

Nonlinear minimization problem

Consider the nonlinear optimization Problem :

Min $z$ = $f$($x_{1}$, …., $x_{n}$)

s.t. $h_{i}$ ($x_{1}$, ...,$x_{n}$ ) – b ≤0 bzw. $g_{i}$($x_{1}$,. ..,$x_{n}$) ≤ $0$ , $x_{j}$ ≥ $0$

$i=1,...,m$  ; $j=1,...,n$.

f and g are continuously differentiable

Lagrangian Function for a minimization Problem :

$L(x;\lambda )$ = $f$($x_{1}$,…,$x_{n}$)+ Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \sum_{k=1}^m\lambda_i

 $g_{i}$ ($x_{1}$,…,$x_{n}$)

Or

$L(x;\lambda )=f(x)+\lambda ^{T}g(x)$

A vector $({\hat {x}},{\hat {\lambda }})$ in $R_{+}^{n+m}$ is called saddle point of Lagrangian function $L(x,\lambda )$, if it holds for all x ∈$R_{+}^{n}$ And $\lambda$ ∈$R_{+}^{m}$ :

$L({\hat {x}},\lambda )$ ≤ $L({\hat {x}},{\hat {\lambda }})$ ≤ $L(x,{\hat {\lambda }})$

Saddle Point Condition :

The slater condition is satisfied if there exists a $x$ ≥ 0 such that $g(x)$ < 0

Minimizer :

If the vector $({\hat {x}};{\hat {\lambda }})$ is saddle point of $L(x,\lambda )$, then ${\hat {x}}$ is a minimizer of NLP.

Suppose that there exist a $x$ ≥0 s.t. $g(x)$ < 0, so the following KKT conditions are necessary for $({\hat {x}},{\hat {\lambda }})$ being a saddle point of $L(x;\lambda )$ :

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial x_j}

= Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial f}{\partial x_j}
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): (\hat x)+\sum_{j=1}^m \hat \lambda_i \cdot \frac{\partial g_i}{\partial x_j}(\hat x)
≥ $0$          ;       $j=1,...,n$.

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \hat x \cdot \frac{\partial L}{\partial x_j}

= Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \hat x \cdot \bigg( \frac{\partial f}{\partial x_j}
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): (\hat x)+\sum_{j=1}^m \hat \lambda_i \cdot \frac{\partial g_i}{\partial x_j}(\hat x) \bigg) 
= $0$          ;       $j=1,...,n$.

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial \lambda_i} = g(\hat x)

≤ $0$      ;    $i=1,...,m$                                                                  

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \hat \lambda_i \cdot \frac{\partial L}{\partial \lambda_i} = \hat \lambda_i \cdot g(\hat x)

≤ $0$      ;    $i=1,...,m$

${\hat {x}}$ ≥ $0$

${\hat {\lambda }}$ ≥ $0$

Nonlinear maximization problem

Given a nonlinear maximization problem:

Max $z$ = $f$($x_{1}$, …., $x_{n}$)

s.t. $h_{i}$ ($x_{1}$, ...,$x_{n}$ ) – b ≤0 bzw. $g_{i}$($x_{1}$,. ..,$x_{n}$) ≤ $0$ , $x_{j}$ ≥ $0$

$i=1,...,m$  ; $j=1,...,n$.

f and g are continuously differentiable

Lagrangian Function for a maximization Problem :

$L(x;\lambda )$ = $f$($x_{1}$,…,$x_{n}$) - Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \sum_{k=1}^m\lambda_i

 $g_{i}$ ($x_{1}$,…,$x_{n}$)

Or

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): L(x;\lambda)=f(x)-\lambda^T g(x)

KKT-condition for a maximization problem.

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial x_j}

= Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial f}{\partial x_j}
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): (\hat x)-\sum_{j=1}^m \hat \lambda_i \cdot \frac{\partial g_i}{\partial x_j}(\hat x)
≤ $0$          ;       $j=1,...,n$.

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \hat x \cdot \frac{\partial L}{\partial x_j}

= Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \hat x \cdot \bigg( \frac{\partial f}{\partial x_j}
Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): (\hat x)+\sum_{j=1}^m \hat \lambda_i \cdot \frac{\partial g_i}{\partial x_j}(\hat x) \bigg) 
= $0$          ;       $j=1,...,n$.

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \frac{\partial L}{\partial \lambda_i} = g(\hat x)

≤ $0$      ;    $i=1,...,m$                                                                  

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \hat \lambda_i \cdot \frac{\partial L}{\partial \lambda_i} = \hat \lambda_i \cdot g(\hat x)

≤ $0$      ;    $i=1,...,m$ 

${\hat {x}}$ ≥ $0$

${\hat {\lambda }}$ ≥ $0$

Example:

Given the following optimization problem:

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): minf(x_1,x_2)= x_1^2 + x_2^2 + (1-x_1-x_2)^2

  with $x_{1},x_{2}$  ∈ $R_{+}^{2}$ ,

under the following constraints :

$4x_{1}+2x_{2}$ ≤ $10$  : $g_{1}(x_{1},x_{2})$

$x_{2}$ ≤ $15$  : $g_{2}(x_{1},x_{2})$

$x_{1}+x_{2}$ ≥ $3$  : $g_{3}(x_{1},x_{2})$

$x_{1},x_{2}$ ≥ $0$

$g_{2}(x_{1},x_{2})$ can be ignored because of $g_{1}(x_{1},x_{2})$

$g_{3}(x_{1},x_{2})$ : $x_{1}+x_{2}$ ≥ $3$ Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \Rightarrow

 Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): x_1+ x_2-3
≥ $0$

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \Rightarrow

 Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): -(x_1+ x_2)+3
≤ $0$

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): L(x_1,x_2,\lambda_1,\lambda_2) = x_1^2 + x_2^2 + (1-x_1-x_2)^2+\lambda_1(4x_1 +2x_2-10)+\lambda_2(-x_1 - x_2+3)

Primal Constraints :

Source

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Repitutorium 2012/2013

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Skript Operations research

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \bullet

https://en.wikipedia.org/wiki/Karush%E2%80%93Kuhn%E2%80%93Tucker_conditions

Fehler beim Parsen (http://mathoid.testme.wmflabs.org Serverantwort ist ungültiges JSON.): \bullet

www.wm.uni-bayreuth.de//MGW_Buch/lLeseprobe_6_5hp.pdf